functie voor wereldrecords

[binneband]

hallo,

Ik ben bezig met een wiskunde PO (middelbare school). Het is hierbij onder andere de bedoeling dat ik een formule maak van de wereldrecords hardlopen. Maar ik kom er echt niet uit.

Volgens mij is het sowieso een formule met een asymptoot. Zelf dacht ik aan een exponentiele functie, zoiets als deze:

y = b x g^x ?

Gegevens:

800 meter sprint

1.52,8 Mel Sheppard USA 08/07/21 London

1.52,8 Emilio Linghi ITA 09/09/15 Montreal

1.51,9 Ted Meredith USA 12/07/08 Stockholm

1.51,6 Otto Peltzer GER 26/07/03 London

1.50,6 Sera Martin FRA 28/07/14 Paris

1.49,8 Thomas Hampson GBR 32/08/02 Los Angeles

1.49,8 Ben Eastman USA 34/06/16 Princeton

1.49,7 Glenn Cunningham USA 36/08/20 Stockholm

1.49,6 Elroy Robinson USA 37/07/11 New York

1.48,4 Sydney Wooderson GBR 38/08/20 Motspur Park

1.46,6 Rudolf Harbig GER 39/07/15 Milano

1.45,7 Roger Moens BEL 55/08/03 Oslo

1.44,3 Peter Snell NZL 62/02/03 Christchurch

1.44,3 Ralph Doubell AUS 68/10/15 Mexico City

1.44,3 David Wottle USA 72/07/01 Eugene

1.43,7 Marcello Fiasconaro ITA 73/06/27 Milano

1.43,50 Alberto Juantorena CUB 76/07/25 Montreal

1.43,44 Alberto Juantorena CUB 77/08/21 Sofia

1.42,33 Sebastian Coe GBR 79/07/05 Oslo

1.41,73 Sebastian Coe GBR 81/06/10 Florence

zouden jullie me kunnen helpen?

bvd

[TD]

Wat wil je hier als x en y kiezen, (sprint)tijd en datum?

[binneband]

y de sprintijd en x de datum

[TD]

Je kan Excel (of een meer specifiek programma) een curve fit laten doen, er is geen "beste" oplossing.

[binneband]

okee bedankt. Zal eens kijken.

Maar is die exponentiele functie wel goed, want ik moet aangeven waarom ik juist deze functie heb gekozen.

[TD]

Bijvoorbeeld:



Je kunt ook een betere R² krijgen, maar dan gaat je grafiek eerder lineair worden.

[binneband]

Ok, super. Dankjewel!

Nog een vraag: Is er een verklarig waarom bij deze grafiek, een exponentiele functie hoort? Want er zijn meerdere functies met asymptoten enz.

[TD]

Hier hoort niet per se een exponentiële functie bij hoor.

[eendavid]

om het realistisch te houden zou ik een constante component behouden. Deze houdt rekening dat er een grens moet bestaan waar je niet voorbij kan. (je kan de 800 meter fysisch onmogelijk in 1 seconde afleggen)

[bram2]

Probeer is een goed wiskundig model te zoeken voor zo een recordtijd.

Eerst wat notaties afspreken:

De recordtijd = T

De datum = t (voor de wiskundige correctheid staan beide in seconden)

dT/dt = afgeleide van respectievelijk T

Mijn hypothese is: de variatie van T is evenredig met T. Dus hoe rapper er gelopen wordt, hoe minder snel het record zal varieren.

Dan krijg je -dT/dt = K.T (-teken omdat aangroei negatief is, K is een constante die zegt hoe rap die variatie gebeurt)

\( \frac{dT}{T} = -Kdt \)

beide leden integreren (eigenlijk los in een differentiaalvergelijking op)

\( \ln(T) = -Kt+c \)

(c is een willekeurige constante)

\( T(t) = T(0) e^{-K.t} \)

(die T(0) =

\( e^c \)

)

Als je die formule interpreteert, dan zie je dat uiteindelijk T = 0 wordt, fysisch niet mogelijk dus.

(op dezelfde manier kan je bewijzen dat radioactief verval exponentieel daalt, de bevolkingsaangroei exponentieel stijgt , ....)

Dus we gaan onze hypothese iets aanpassen. Ik zeg er is ergens een fysische begrenzing aan wat een mens kan lopen (= Tmin). en ik pas mijn hypothese aan alsvolgt

-dT/dt = K(T-Tmin) dus hoe rap de recordtijd verandert is niet meer evenredig met de recordtijd maar met het verschil tussen de huidge recordtijd en de fysische grens hiervoor.

Beetje differentiaalvergelijking oplossen levert dan

\( T(t) = T_{\min} + C e^{-K.t} \)

Dit kunnen we alsvolgt interpreteren:

*als t = 0 is T(0) = Tmin + C = een bepaalde startwaarde

*als t naar oneindig gaat wordt T = Tmin.

*De snelheid waarmee het record verbeterd, zal steeds verkleinen (dT/dt) en is afhankelijk van K

*De theoretische minimumtijd zal nooit gelopen worden maar wel steeds beter benaderd worden.

Ik heb helemaal geen idee van je voorkennis, dus dingen die je niet begrijpt moet je maar vragen (afgeleiden, intregreren, differentiaalvergelijking)

[binneband]

Bram2 bedankt, maar dat ligt toch net boven mij niveau

Ik heb nu een spreidingsgrafiek gemaakt met excel, hoe krijg ik nu zo'n lijn erdoor als bij dit plaatje:

http://img93.imageshack.us/img93/2348/curvexw7.gif

en is het ook mogelijk de grafiek op te delen in verschillende stukjes, met verschillende formules;

http://img64.imageshack.us/img64/7047/curvexw7gu9.jpg

[binneband]

TD, hoe heb je nou die kromme in die grafiek gekregen, en die formule ?

Want ik krijg steed een lineaire.

[TD]

Dat was in Excel: de datapunten plotten, rechterklik erop, trendlijn toevoegen, "exponentieel" kiezen.

[binneband]

Ik zet de gegevens in excel, maak er een spreidingsgrafiek van, voeg een exponentiele trendlijn toe maar dan krijg ik als nog deze grafiek:

http://img187.imageshack.us/img187/3172/minderdz3.jpg

(Heb alleen de tijden omgerekend in secondes, en datums zijn nu gewoon jaren)

[TD]

Bij de opties van de trendlijn kun je ook ergens kiezen om de vergelijking (en de R²) te tonen, doe dat eens.