Afgeleide

[PhilipVoets]

Stel dat ik wil uitdrukken dat variabele A evenredig verandert met de relatieve verandering van variabele B per tijdseenheid dt, dus (volgens mij):

dA ~ dB/(B x dt)

Is deze differentiaalvergelijking enkel partieel op te lossen of ook op een zodanige manier dat zowel over dB als dt tegelijkertijd opgelost wordt?

[Xilvo]

Bedoel je dat \(\frac{d A}{d t}=c.\frac{dB}{B dt}\) ?

[PhilipVoets]

Niet per se (volgens mij). Ik bedoel dat de mate van verandering van A evenredig is met de relatieve verandering van B én omgekeerd evenredig met de tijd waarin die verandering van B optreedt.
Bijvoorbeeld: verandering van klinische toestand is evenredig met de relatieve verandering van de concentratie van een elektrolyt/hormoon/glucose/etc. in bloed (e.g., stijging van FT4 (ref.: 11-22 pmol/L) van 20 naar 30 pmol/L (50%) geeft veel meer klachten dan een stijging van 40 naar 50 pmol/L (25%). Vindt die verandering in een korte tijd (een dag of zo) plaats, dan gaat dit gepaard met veel meer klachten dan wanneer die verandering in de loop van enkele weken optreedt.

[flappelap]

Stel dat ik wil uitdrukken dat variabele A evenredig verandert met de relatieve verandering van variabele B per tijdseenheid dt, dus (volgens mij):

dA ~ dB/(B x dt)

Is deze differentiaalvergelijking enkel partieel op te lossen of ook op een zodanige manier dat zowel over dB als dt tegelijkertijd opgelost wordt?

Deze uitdrukking snijdt geen hout. Tenminste, niet als differentiaalvergelijking.

[Xilvo]

De vraag is, hoe kwantificeer je "klinische toestand", welke waardes kunnen of mogen voorkomen voor de concentratie.
Het lijkt me op z'n minst geen lineair verband.

[PhilipVoets]

Als het goed is, raakt dit sterk aan de bekende Weber-Fechner-relatie. Daar rolt dan een logaritmisch verband uit, een afvlakkende curve. Enige vraag is hoe daar een tijdscomponent is te passen is.

Zou het enkel: dA = c x dB/B zijn, dan rolt daar volgens mij A = c x ln(B) uit. Nu is de vraag: is het mogelijk om hier nog een tijdsafhankelijke vorm van te maken, waarbij de verandering in A niet enkel evenredig is met de relatieve verandering van B (dB/B), maar ook omgekeerd evenredig met de tijd waarin dB/B plaatsvindt.

Die klinische toestand is het geheel aan gerapporteerde klachten en bevindingen bij lichamelijk onderzoek. Het gaat ook niet om exacte berekeningen voor drie decimalen achter de komma, puur om een soort globaal verband.

[flappelap]

Nu is de vraag: is het mogelijk om hier nog een tijdsafhankelijke vorm van te maken, waarbij de verandering in A (***) niet enkel evenredig is met de relatieve verandering van B (dB/B), maar ook omgekeerd evenredig met de tijd waarin dB/B plaatsvindt.

(***): De verandering in A van wat? B? De tijd t?

[PhilipVoets]

Het zou gaan om een verandering in absolute zin, niet per se "in iets" (lijkt mij). Ik zou denken dat deze vergelijking niet anders is dan de Weber-vergelijking in de bijlage (maar corrigeer me als ik ernaast zit), daar verandert dp ook, voor zover ik het zie, in absolute zin en niet t.o.v. een bepaalde grootheid. De vraag is alleen; is die vergelijking in de bijlage tijdsafhankelijk te maken, dus kan deze zo worden herschreven dat niet alleen de relatieve verandering (dB/B), maar ook de tijd waarin deze relatieve verandering optreedt, wordt meegenomen?

[wnvl1]

Fechner geeft een verband p(S). Ik weet niet wat er fysisch achterzit, maar dat is niet relevant.

Jij ben op zoek naar een model waarin die evewichtstoestand p(S) wordt bereikt met een zekere tijdsvertraging?
Dus een verband p(S,t) dat in de limiet na oneindig tijd terug het originele verband p(S, oneindig)=p(S) geeft.
Je wil daarvoor een systeem van differentiaalvergelijkingen opstellen vermoed ik om dan te komen tot iets als

$$p(S,t) = (1-e^{-t/\tau})p(S)$$
?

[PhilipVoets]

Top, enorm bedankt! Hoe ziet de afleiding eruit om te komen bij de door jou voorgestelde vergelijking?

[wnvl1]

Deze DV leidt tot een vertraagde tijdsevolutie met negatieve e macht tot evenwichtswaarde.

$$\tau\frac{dP}{dt}+P=k \cdot lnS$$

[Xilvo]

Is er ook een relatie tussen kt (klinische toestand, hoger is slechter) en concentratie c bij constante c?

[PhilipVoets]

Deze DV leidt tot een vertraagde tijdsevolutie met negatieve e macht tot evenwichtswaarde.

$$\tau\frac{dP}{dt}+P=k \cdot lnS$$

Dank voor het meedenken en de toelichting!

@Xilvo: in grote lijnen is er wel een relatie te beschrijven, vooral binnen de Endocrinologie (waarvoor een dergelijk model zinvol en bedoeld zou zijn), waarbij bijvoorbeeld normocortisolisme, normothyreoïdie, normoglycemie, etc. (binnen fysiologische referentiewaarden) leiden tot afwezigheid van klachten, en zowel de hypo- als hyperbeelden duidelijke “concentratie-afhankelijke” klachten veroorzaken. Hierbij geldt voor de hyperbeelden dat er een “wet van de verminderde meeropbrengst” lijkt te bestaan; ophogen van de concentratie leidt tot meer klachten tot alle hormoonreceptors bezet zijn en de concentratie-effect-curve afvlakt. Dat lijkt ongeveer Michaelis-Menten-achtig / logaritmisch te verlopen. Daarnaast geldt dat hoe sneller de verandering ontstaat, hoe minder adaptie kan plaatsvinden en hoe ernstiger de klachten zijn. Zo kan een kleine, maar heel snelle cortisoldaling een Addisoncrisis veroorzaken, maar een grote, geleidelijke cortisoldaling ook. Ik weet niet of dat de vraag enigszins beantwoordt?
De gedachte zou dan ook zijn om e.e.a in een overzichtelijke vergelijking te gieten om globaal te demonstreren / na te denken over hoe de variabelen samenhangen en patronen zijn, niet zozeer voor exacte berekeningen tot drie decimalen achter de komma.

[PhilipVoets]

Ik kan me voorstellen dat wat Wnvl1 voorstelt al heel aardig in de richting komt, maar ik vind het zonder stapsgewijze afleiding enigszins lastig om te volgen of de aannames vanuit klinisch-fysiologisch oogpunt plausibel zijn. En geldt daarbij dat: p(S) = k . ln(S/S0), zoals in de eerder gestuurde Fechner-afleiding? Dus: p(S,t) = k . (1 - exp(-t/T) . ln(S/S0)? Of mag je dat zo niet stellen?
En tot slot; hoe duidt ik de waarde voor tau (T) hierin? Een soort “referentietijd”?

[flappelap]

Het zou gaan om een verandering in absolute zin, niet per se "in iets" (lijkt mij). Ik zou denken dat deze vergelijking niet anders is dan de Weber-vergelijking in de bijlage (maar corrigeer me als ik ernaast zit), daar verandert dp ook, voor zover ik het zie, in absolute zin en niet t.o.v. een bepaalde grootheid.

Dat is omdat je de variabelen hebt gescheiden. Na de differentialen te hebben teruggezet (wat een informele toepassing van de kettingregel is; afgeleiden zijn immers geen gewone breuken) moet je links en rechts weer afgeleiden krijgen. Anders snijdt zo'n vergelijking in de continue limiet geen hout, lijkt me. Dus de vraag is: gegeven een functie, wat bedoel je exact met "verandering in absolute zin"?